年金

年金是指等额、定期的系列收支。^[1]即用于描述这类以固定的时间周期以相对固定的方式发生的现金流。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式.^[2]

按照收付时点和方式的不同可以将年金分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金等四种。

普通年金的现值可以被表达为一个等比数列的总和。

考虑在${\displaystyle t=1,2,...,n}$时刻分别发生数额为${\displaystyle C}$的款项，总共发生${\displaystyle n}$次的现金流（显然，这是年金）。将在未来发生的款项根据换算周期内的利率${\displaystyle i}$折现，这个年金的现值据此计算：^[3]

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {C}{i}}\cdot [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]}$ ${\displaystyle \mathrm {=} {C}{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\,}$

其中${\displaystyle \mathrm {\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}} \,}$稱為「年金因子」。上式同样也适用于发生时间不同但等时间间隔的年金，比如，从第一年到第十年每年年底付款100元；其中，${\displaystyle i}$是换算周期内对应的利率或当期收益率。^[4]

若年金的支付永远进行下去，没有停止的那一天，这种年金被称为永久年金。^[5]永久年金现值的计算即令上式中${\displaystyle n\to \infty }$，则${\displaystyle 1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}\to 1}$，

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {C}{i}}}$

因此，前式可以看作是一个永久年金的现值减去一个推迟了${\displaystyle n}$年的永久年金的现值所得。

需要注意的是，这些计算公式只有在满足下述条件时才能成立：

• 无需考虑通货膨胀，或者所用利率已将通货膨胀考虑在内。
• 将来的支付具有相当高的发生可能性，或者利率已将信用风险考虑在内。

要了解更多，请参见金钱的时间价值。

在考虑退休年金计划或者定期储蓄计划时，有时需要计算年金终值。

根据终值计算公式: ${\displaystyle FV_{A}=PV_{A}\times (1+i)^{n}}$

其中:

• ${\displaystyle FV_{A}}$为年金终值
  

• ${\displaystyle PV_{A}}$为年金现值
  

• ${\displaystyle i}$为对应利率
  

• ${\displaystyle n}$为年金期数
  

按上文，已知普通年金现值计算公式，将其代入终值计算公式:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}FV_{A}&={\frac {C}{i}}\times [1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}]\times (1+i)^{n}\\&={\frac {C}{i}}\times [(1+i)^{n}-1]\\&=C\times [{\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}]\\\end{alignedat}}}$

已知${\displaystyle (1+i)^{n}}$为计算终值时使用的[终值因子] (Future Value Factor)，则上述公式可以简化为:

${\displaystyle FV_{A}=C\times {\frac {Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}}}$

我们称${\displaystyle {\frac {Future\,\ Value\,\ Factor-1}{i}}}$为[年金终值因子] (FV annuity factor)

最终简化版的年金终值公式为${\displaystyle FV_{A}=C\times FV\,\ annuity\,\ factor}$

假设A每年年末定期储蓄10,000元人民币，年利率5%，那么到第四年年末，A定期储蓄的终值是多少？

首先计算终值因子: ${\displaystyle Future\,\ Value\,\ Factor=(1+0.05)^{4}=1.215506}$

接下来计算年金终值因子: ${\displaystyle FV\,\ annuity\,\ factor=(1.22-1)/0.05=4.310119}$

最后计算年金终值: ${\displaystyle FV_{A}=10000\times 4.310119=43101.19}$

A所做定期储蓄在第四年的终值为43101.19元。

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