映射

映射（英語：map，mapping）或称射影、写像，在数学及相关的领域经常等同于函数。基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。在很多特定的数学领域中，这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质函数，例如，在拓扑学中的连续函数，线性代数中的线性变换等等。^[1][2]映射這個概念可能源于绘制地图的过程：例如将地球表面畫（映射）在一张纸上。^[3]

${\displaystyle \rightarrow }$：是收敛箭号、射向符号、映射符号，俗称“右向箭号”，用于定义函数架构，连接定义域至陪域；作用对象是集合与集合之间，不涉及具体的数字计算。读作“(从)...到...”（(from) ... to ...），数学语义是“映射”。

${\displaystyle \mapsto }$：是映射值箭号、元素映射号，俗称“带杠箭号”，强调有一起线，用于定义元素关系，指明自变量到因变量；作用对象是元素与元素之间，涉及运算结果或表达式。读作“...映射到...”（... maps to ...），数学语义是“赋值”。

注：无起线象征流动的，表示一个过程或一个趋势；有起线象征确定的，指定“输入这一个特定的点，产出那一个特定的值”。

这个术语有时用来表示函数谓词（Functional predicate），在那里函数是集合论中谓词的模型。

设${\displaystyle A,B}$是两个非空集合，若对${\displaystyle A}$中的任一元素${\displaystyle x}$，依照某种规律或法则${\displaystyle f}$，恒有${\displaystyle B}$中唯一确定的元素${\displaystyle y}$与之对应，则称此对应规律或法则${\displaystyle f}$为一个从${\displaystyle A}$到${\displaystyle B}$的映射。

记作 ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ 或 ${\displaystyle f:x\mapsto y}$

並且，称集合${\displaystyle A}$为映射${\displaystyle f}$的定义域，集合${\displaystyle B}$为映射${\displaystyle f}$的到达域；称${\displaystyle y}$为${\displaystyle x}$的像，${\displaystyle x}$为${\displaystyle y}$的原像^[4]。

记作 ${\displaystyle y=f(x)}$

此外，称集合${\displaystyle R_{f}}$为映射${\displaystyle f}$的值域，

记作 ${\displaystyle R_{f}=\left\{f(x)|x\in A\right\}}$ 或 ${\displaystyle R_{f}=f(A)}$

${\displaystyle R_{f}}$ 称为${\displaystyle A}$在${\displaystyle f}$作用下的像。

• 同态
• 态射
• 单射
• 满射
• 单射、双射与满射