率
率[1][2]（rate）或变率（rate of change）、變化率，是一个变量（因变量）相对于另一个不同单位（量纲）变量（自变量或时间）发生变化的快慢程度。但是，除了上述精确的科学定义外，也可见到广义的“率”，其含盖两相同单位变量的比值。
就数学而言，率是两个不同单位相关量相除的商，即一個量相對於另一不同單位量的變化[註 1]，也是二维平面直角坐标系中，某一元实值函数图像上某点切线的斜率或该点的导数。如果该率中的除数（或分母）等于一个单位，且假设该作为除数的量可以系统地改变（即作为自变量），那么该率中的被除数（或分子）就表达了另一数（因变量）相应的变化率。在某些情况下，率可被视为一个数值随另一个数值的变化而引起的变化。
- 以时间作为除数的率，是最常见的一种率，即“每单位时间”的某量变化，或“单位时间内”某物理量的变化量，称为随时间的变化率（rate of change with respect to time），简称时间变化率（time rate of change）、时变率（temporal rate），其数学本质即该量对时间的导数或时间导数（time derivative）。例如：速率、心率都是时变率。速率是物體的移動距離相對於時間的變化量，以每單位時間的移動距離來表示；心跳率是每分鐘的心跳次數。
- 以非时间作为除数的率，则包括了电容率、磁导率、汇率等等。日常應用的例子如：汇率是两经济体货币的兑换率（具有两种不同货币单位）。
近代科学定义下的“ratio”（比）和“rate”（率），是兩個相似卻在用法上有所區分的概念。但是不论汉语的“比”和“率”，或是英语的“ratio”和“rate”，都由于漫长的历史因素并未以科学精确区分，偶有混用，造成了有时不符合定义的称呼。汉语中，例如称作“率”的圆周率、分率、打击率，严谨来说，是一种“比”[3]。另一漢語詞彙“比率”，在使用上也显含糊，通常用來代表兩個同单位數量的比或比值（比的值），但也常用以表示率。英语中，例如称作“rate”的 tax rate、literacy rate、mortality rate 等，其实是一种“ratio”。
变化量与变化率
变化量（amount of change）或增量（increment），口语简称“变化”，是某物理量（或变量 y）在某一过程结束时的终态值与开始时的初态值之差，使用符号Δ。例如：“变量 的变化量”是 ₂ - ₁ ，记作 Δ 。变化量不同于变化率，后者是两变化量的商。
平均率与瞬时率
根据观察的时间尺度不同，分为以下两种变化率：
- 平均变化率（average rate of change）、平均率：在一个特定时间区间内，因变量相对于自变量的平均变化快慢。例如：开车从A点到B点的平均时速。
- 瞬时变化率（instantaneous rate of change）、瞬时率：在某一特定瞬间，因变量相对于自变量的实时变化快慢。亦即微积分中时间导数的定义。例如：开车中的某时刻，仪表盘上显示的瞬时时速。
物理學中的率
在物理學中，當我們提到率（rate）或變化率（rate of change）時，通常是指某物理量在單位時間內的變化量，以此概念為基礎，可以引申出各種物理變化率。然而，在不同的學術領域中，單位相同的變化率可能有不同的用法，因此有不同的名稱與解釋；相對的，基於歷史因素或其它原因，同一個名詞也可能在不同的領域中有相似但是不同的解讀與單位。
流率（flow rate）
流率即單位時間內的流量。在流體力學中，流量的單位可以是體積，這稱為體積流率；流量的單位也可以是質量，這稱為質量流率。水文學中的「流量」（英語：discharge）也是一種體積流率，但是它有另外的研究內涵。雖然流率在概念上只與流量和時間有關，但是在測量與計算上，一個可用的定義是流體速度與所通過的表面或截面的內積，亦即流體在單位時間內垂直通過某表面或截面的流量。
通量（flux）
從流率可以導出通量，但是通量的確切定義要依照學術領域或是討論對象來決定。
在流體力學中，通量是流體在單位時間內垂直通過單位表面或截面的流量，亦即流率的面積密度，例如，體積通量與質量通量。因此，在已知流體通量的情形下，流率是通量的面積分，而在已知流率與正交面積的情形下，通量即流率與正交面積的比例。
在電磁學中，通量的定義是電場或磁場通過某正交表面或截面的流量（場線的總數，參見電通量與磁通量），這與流率的定義相似，不同的是這裡沒有時間的概念，在數學上則是向量場與正交表面或截面的面積分。場線的面積密度可以用來比較場的強弱：電通量的面積密度稱為「電通密度」，磁通量的面積密度稱為「磁通密度」。
备注
参见
参考文献
扩展阅读
- "Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp. 307ff
- "Proportion" New International Encyclopedia, Vol. 19 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- "Ratio and Proportion" Fundamentals of practical mathematics, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- The thirteen books of Euclid's Elements, vol 2. trans. Sir Thomas Little Heath (1908). Cambridge Univ. Press. : 112ff [2013-05-14]. （原始内容存档于2020-08-03）.
- D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2 Dover (1958) pp. 477ff
- Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics, p.189, Ratio vs. Rate （页面存档备份，存于互联网档案馆）
