竖式

此條目介紹的是数学笔算方法中的竖式计算法。关于文字书写方向中的纵向书写与横向书写，请见「縱書與橫書」。

竖式是指在数学计算中，将数字按位（个位、十位、百位等）纵向排列，从而便于进行加、减、乘、除、开方等运算的方法。竖式是小学阶段常用的计算技巧，能够帮助学生理解位值系统及运算过程^[1]。

竖式通常用于书面计算，尤其是多位数的算术运算。通过将数字按位对齐，竖式可以清晰地展示每一步运算的进位或借位过程^[2]。竖式计算有助于理解数字之间的关系，并减少计算错误。

竖式的使用历史悠久，可以追溯到古代中国和其他文明的算术方法。古代算书中已经记载了类似竖式的运算技巧，例如在《算经十书》中有类似的方法^[3]。现代竖式形式在小学教育中得到普及，成为标准教学方法。

在竖式加法中，将两个或多个数按位对齐，从个位开始逐位相加。若某一位的和大于等于10，则向高一位进位。例如：

 356
+478
 834

竖式减法将被减数和减数按位对齐，从个位开始逐位相减，如不足则向高位借位。例如：

  642
- 275
  367

竖式乘法将被乘数与乘数按位排列，通过逐位乘法和累加实现乘法。例如：

    123
   × 45
    615
  +492  
   5535

竖式除法通过逐位试商、求余和下拉被除数进行计算。竖式除法可以清晰显示每一步的商和余数。例如：

      31.75     
   4)127.00
    -12         (3 × 4 = 12, 12 ÷ 4 = 3)
      07        (余数为0, 将7落下)
     - 4        (1 × 4 = 4, 7 ÷ 4 = 1…余…3)                                             
       3 0      (将0落下)
     - 2 8      (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7…余…2)
         20     (补0并落下)
       - 20     (5 × 4 = 20)
          0

开方的竖式算法是一种手工求算数平方根的方法。基本思路是将被开方数从右向左每两位一组，逐步求出平方根的每一位。具体操作步骤如下：

1. 分组：将被开方数从小数点处开始向两侧每两位为一组，如果整数位数为奇数，则最左边的第一组可只包含一位；如果小数位数为奇数，则最右边的第一组可只包含一位。
2. 求首位：取最左边的一组数字，找出不超过该数的最大平方数，其平方根作为平方根的首位数字。
3. 逐步逼近：
   • 将已求出的平方根前若干位乘以 2，得到一个临时除数的基数。或者也可以通过上一个基数加其末位数得到新的基数。
   • 在基数末尾添上一个待求的下一位数字，使得该数乘以这一位数字的积不超过当前余数。
   • 将乘积从当前余数中减去，得到新的余数，并将下一组数字降下与余数组合，作为下一步的操作数。
4. 重复：依次处理每一组数字，逐位求出平方根，直到所有组数字处理完毕。

通过这种方法，可以像做除法那样一位一位地求出平方根，且每一步的余数都比上一步小，保证计算的准确性。

例如，若要计算1000 0141.29的算数平方根，则可列如下竖式：

   3  1  6  2. 3     
3)10 00 01 41.29
  -9            (3×3=9，十内最大平方数为9，余1)
61)1 00         (3+3=6_;最大6十几×几≤100?答:1)
   - 61         (61×1=61≤100余39)
626) 39 01      (61+1=62_;最大6百2十几×几≤3901?答:6)
    -37 56      (626×6=3756≤3901余145)
6322) 1 45 41   (626+6=632_;最大6千3百2十几×几≤14541?答:2)
     -1 26 44   (6322×2=12644≤14541余1897)
63243)  18 97 29(6322+2=6324_;最大6万3千2百4十几×几≤189729?答:3)
      - 18 97 29(63243×3=189729≤189729余0)
               0(余数为零，被开数已全部落下，∴计算结束)

∴${\displaystyle }{\sqrt {10,000,141.29}}=3162.3{}$

上边可以看到，竖式开平方，用到了一个主式和一个辅式，其中辅式用来计算基数。而竖式开立方则需要用到一个主式和两个辅式。

例如下边是计算121,360.897351的立方根的竖式，主式在最右边，左边两个是辅式：

∴${\displaystyle }{\sqrt[{3}]{121,360.897351}}=49.51{}$

竖式不仅是计算工具，也是一种帮助理解数字结构和位值概念的教学方法。它能够培养学生的逻辑思维和细致分析能力^[4]。

1. ^ 王春辉. 《小学数学教学法》. 北京: 人民教育出版社, 2018, 页45-47.
2. ^ 李明. 《数学教育与思维训练》. 高等教育出版社, 2015, 页12-15.
3. ^ 王毅. 《中国古代数学史》. 北京: 科学出版社, 2010, 页89-92.
4. ^ 王春辉, 页48.