等距同构

在数学中，等距映射^[1]（isometric mapping，isometry）简称等距^[2]、保距^[3]，简言之，是满足距离恒等式的映射；属于一个绝对刚性的搬运过程，也是保持间距不变的变换，映射后空间被完全保真地复制了过去，没有被挤压或拉伸，完全没有畸变。

等距同构^[4]（isometric isomorphism）在意义上是指两个空间“结构一模一样，且尺寸完全对等”。在线性空间中，等距映射必定是等距同构；在度量空间中，等距映射不一定是等距同构。

等距映射与等距同构的区别在于：等距映射侧重“距离保持”，在某些空间中，一个等距映射未必是满射。而等距同构侧重“结构等价”，不仅要求是等距映射，还必须是代数结构上的同构（通常指线性空间的同构），在定义上必须是双射（一一对应且满射）。

在几何学中，等距映射相当于：等距变换^[5]（distance-preserving transformation）、全等变换^[6]（congruent transformation）、相合变换^[7]、保距映射^[8]。此外，在几何学中，不论是否等距，同构（关系）（isomorphism）亦即全等（关系）（congruence）。

术语 isometry 词根 iso- 和 -metry，原义是“相同度量”的意思；其衍生语义可为：等度规、等量、等距、等长、等高、等容、等长、等轴，甚至有等速、等拍之义。

等距同构经常用于将一个空间嵌入到另一空间的构造中。例如，测度空间 ${\displaystyle M}$ 的完备化即涉及从 ${\displaystyle M}$ 到 ${\displaystyle M'}$ 的等距同构，这里 ${\displaystyle M'}$ 是 ${\displaystyle M}$ 上柯西序列所构成的空间关于“距离为零”的等价关系的商集。这样，原空间 ${\displaystyle M}$ 就等距同构到完备的度量空间的一个稠密子空间并且通常用这一空间来指代原空间 ${\displaystyle M}$。 其它的嵌入构造表明每一度量空间都等距同构到某一賦範向量空間的一个闭子集以及每一完备度量空间都等距同构到某一巴拿赫空间的一个闭子集。

一个希尔伯特空间上的等距、满射的线性算子被称为酉算子。

设 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 是两个度量空间，其中的距离分别是 ${\displaystyle d_{X}}$ 和 ${\displaystyle d_{Y}}$。一个映射 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 被称为“保距映射”，如果对任意的 ${\displaystyle a,b\in X}$，都有

${\displaystyle d_{Y}\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b)}$

保距映射一定是单射。任意两个度量空间之间的等距同构都必然是一个拓扑嵌入。

等距同构是一一对应的保距映射，有时也被称为全局等距同构。还有一种定义是路径等距同构，指保持所有曲线长度的映射（不一定是一一对应的）。

如果两个度量空间之间存在一个等距同构，就称它们两个为等距同构的。所有从一个度量空间到另一个的等距同构关于映射的复合运算组成一个群，称为等距同构群。

• 所有度量空间到自身的恒等映射都是等距同构。
• 在欧几里得空间中，平移变换、旋转变换、反射变换以及它们的复合都是等距同构。
• 内积空间 ${\displaystyle C^{n}}$ 上的线性等距同构是所有的酉变换^[9]。

在賦範向量空間之间可以定义线性等距同构：所有保持范数的线性映射：

${\displaystyle \|f(v)\|=\|v\|}$

线性等距同构一定是保距映射，因此如果是满射，就是（全局）等距同构。

系数域为实数的賦範向量空間上的等距同构一定是仿射变换。

• 對合
• 同胚

1. ^ 张贤科, 许甫华. 高等代数学. 清华大学出版社. 2004: 339. ISBN 9787302082279. 
2. ^ 张鸿林, 葛显良. 英汉数学词汇. 清华大学出版社. 2005: 366. ISBN 9787302098935. 
3. ^ 國家教育研究院. 數學名詞（第四版）. 元照出版. 2014: 218. ISBN 9789860440454. 
4. ^ 等距同构. 术语在线. 全国科学技术名词审定委员会.  （简体中文）
5. ^ 等距變換. 樂詞網. 國家教育研究院 （中文（臺灣））. 
6. ^ 全等变换. 术语在线. 全国科学技术名词审定委员会.  （简体中文）
7. ^ 全等變換；相合變換. 樂詞網. 國家教育研究院 （中文（臺灣））. 
8. ^ 保距映射. 樂詞網. 國家教育研究院 （中文（臺灣））. 
9. ^ 张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社. 2008. ISBN 7-302-09271-0. ，第146页

• 张贤科. 《高等代数学》第二版. 清华大学出版社. 2002. ISBN 978-7-302-11088-0.