零元素

数学裡的零元素是將0拓展到其他代数结构後所得的概念。

加法單位元是阿贝尔群或幺半群裡的單位元。加法單位元對應元素0，使得針對所有群裡的x，0 + x = x + 0 = x。以下是一些加法單位元的例子：

• 向量加法裡的零向量：是所有分量都為0的向量，在賦範向量空間裡的範數（長度）也是0，常表示為${\displaystyle \mathbf {0} }$或${\displaystyle {\vec {0}}}$^[1]。
• 零函數或零映射z(x) = 0，在逐点加法下(f + g)(x) = f(x) + g(x)為加法單位元
• 並集下的空集合
• 空和或空餘積（empty coproduct）
• 範疇概念裡的始对象（空的餘積，在餘積中是單位元素）

乘法半群或半环裡的吸收元素（absorbing element）推廣0 ⋅ x = 0的性質。以下是一些例子：

• 空集，在集合的笛卡儿积下是吸收元素，因為{ } × S = { }。
• 由z(x) = 0所定義的零函數或是零映射，在逐点乘法(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)下是吸收元素。

許多吸收元素也是加法單位元，包括空集和零函數。另一個重要的例子是域或環結構的特殊元素0，是加法單位元也是吸收元素，其主理想是最小的理想。

範疇裡的零对象（zero object）是始对象和终对象（因此在範疇論的空餘積和積裡都是單位元素)。例如，在態射必須將單位元素映射到單位元素的範疇中，平凡結構（只包括單位元素）是零对象。特別的例子有：

• 當然群，包括單位元素（群範疇裡的零物件)。
• 零模組（zero module），只包含單位元素（環上模範疇中的零物件）。

範疇裡的零態射（zero morphism）是在复合函数下的廣義吸收元素：任何和零態射複合的態射都是零態射。特別，若0_XY : X → Y是從X到Y態射下的零態射，且f : A → X和g : Y → B是任意態射，則g ∘ 0_XY = 0_XB且0_XY ∘ f = 0_AY。

若範疇有零對象0，則有典範態射X → 0和0 → Y,，兩者複合會得到零態射0_XY : X → Y。例如，在群範疇裡，零態射是永遠會傳回群單位元素的態射，因此是廣義的z(x) = 0函數。

偏序关系或是格的最小元素有時會稱為零元素，寫成0或是⊥。

数学裡的零模（zero module）是模裡只包括其加法函數之單位元素的模。若針對整数，加法單位元是0，因此稱為零模。很容易證明零模是模：其顯然在加法和乘法下封閉。

數學中，環 ${\displaystyle R}$ 裡的零理想（zero ideal）是只包括加法單位元（或零元素）的理想 ${\displaystyle \{0\}}$。零理想是理想也可以直接由以上定義推得。

数学中，特別是线性代数中，零矩陣是指其元素都為0的矩阵。一般會用符號${\displaystyle O}$表示^[2]。以下是一些零矩陣的例子

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ }$

所有元素在環 K裡，大小m × n的矩陣集合，形成模${\displaystyle K_{m,n}}$。${\displaystyle K_{m,n}}$裡的零矩陣${\displaystyle 0_{K_{m,n}}}$是其所有元素都是${\displaystyle 0_{K}}$的矩陣，其中 ${\displaystyle 0_{K}}$是K的加法單位元。

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}}$

零矩陣是${\displaystyle K_{m,n}}$裡的加法單位元。也就是，對於所有${\displaystyle A\in K_{m,n}}$:

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A}$

針對給定大小m × n的矩陣，元素來自特定的環，只有一個零矩陣，因此不會有歧義，一般會直接稱為零矩陣。在矩阵环裡，零矩陣是加法單位元也是吸收元素。一般來說，環裡的零元素唯一，一般會直接標示0，不會用下標標示對應的環。因此上例是針對任何環的零矩陣。

零矩陣也是將所有向量映射到零向量的线性映射。

数学裡的零張量（zero tensor）是任意階，其元素都為零的張量。一階的零張量也稱為零向量。

任何張量和零張量作张量积，所得的都是零張量。不論是哪一種類的張量，零張量都是其加法單位元。

• 零半群
• 零因子
• 零對象
• 函數的零點