三角形的三条高线，它们交于一点，称为垂心 在数学 中，三角形 的高线 （或称高 、垂线 ）是指过它的一个顶点 并垂直 于对边的直线 ，或这条直线上从顶点到与对边所在直线的交点之间的线段 。高线与对边所在之直線的交点称为垂足 。过一个顶点的高线的长度被称为三角形在这个顶点上的高 ，而对应的对边称为底边 ，其长度称为底 。
三角形的三条高线交于一点，该点称为三角形的垂心 ，一般记作
H
{\displaystyle H}
任意一个三角形 的三条高线交于一点，称为该三角形的垂心。证明如下：
设有三角形
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
{\displaystyle A}
B
C
{\displaystyle BC}
B
C
{\displaystyle BC}
D
{\displaystyle D}
B
{\displaystyle B}
A
C
{\displaystyle AC}
A
C
{\displaystyle AC}
E
{\displaystyle E}
A
D
{\displaystyle AD}
B
E
{\displaystyle BE}
H
{\displaystyle H}
C
H
{\displaystyle CH}
A
B
{\displaystyle AB}
C
H
{\displaystyle CH}
C
{\displaystyle C}
H
{\displaystyle H}
下证
C
H
{\displaystyle CH}
A
B
{\displaystyle AB}
C
H
{\displaystyle CH}
A
B
{\displaystyle AB}
F
{\displaystyle F}
A
E
B
{\displaystyle AEB}
A
D
B
{\displaystyle ADB}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
D
{\displaystyle D}
E
{\displaystyle E}
C
{\displaystyle C}
D
{\displaystyle D}
H
{\displaystyle H}
E
{\displaystyle E}
D
C
H
{\displaystyle DCH}
D
A
B
{\displaystyle DAB}
D
C
H
{\displaystyle DCH}
D
E
B
{\displaystyle DEB}
D
A
B
{\displaystyle DAB}
然而角
D
A
B
{\displaystyle DAB}
A
B
D
{\displaystyle ABD}
D
C
H
{\displaystyle DCH}
A
B
D
{\displaystyle ABD}
F
C
B
{\displaystyle FCB}
F
B
C
{\displaystyle FBC}
B
C
F
{\displaystyle BCF}
B
F
C
{\displaystyle BFC}
C
H
{\displaystyle CH}
A
B
{\displaystyle AB}
H
{\displaystyle H}
垂心坐标为
(
|
x
2
x
3
+
y
2
y
3
1
y
1
x
3
x
1
+
y
3
y
1
1
y
2
x
1
x
2
+
y
1
y
2
1
y
3
|
|
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
|
,
|
x
2
x
3
+
y
2
y
3
x
1
1
x
3
x
1
+
y
3
y
1
x
2
1
x
1
x
2
+
y
1
y
2
x
3
1
|
|
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
|
)
{\displaystyle ({\frac {\begin{vmatrix}x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}&1&y_{1}\\x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}&1&y_{2}\\x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}&1&y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}},{\frac {\begin{vmatrix}x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}&x_{1}&1\\x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}&x_{2}&1\\x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}&x_{3}&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}})}
三条高线交于垂心 三角形的高可以用来计算其面积：三角形的面积
S
{\displaystyle S}
除以2 ：
S
=
a
h
a
2
{\displaystyle S={\frac {ah_{a}}{2}}}
其中
a
{\displaystyle a}
h
a
{\displaystyle h_{a}}
如果三角形
A
B
C
{\displaystyle ABC}
等腰三角形 ，
A
B
=
A
C
{\displaystyle AB=AC}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
中线 和角平分线 重合。
直角三角形的垂心是斜边 所对的顶点。如果三角形
A
B
C
{\displaystyle ABC}
直角三角形 ，其中角
A
C
B
{\displaystyle ACB}
A
{\displaystyle A}
A
C
{\displaystyle AC}
B
{\displaystyle B}
B
C
{\displaystyle BC}
C
{\displaystyle C}
锐角三角形的垂心在三角形内部；钝角三角形的垂心在三角形外部。
欧拉定理 断言，三角形的重心
G
{\displaystyle G}
外心
O
{\displaystyle O}
H
{\displaystyle H}
H
G
=
2
G
O
{\displaystyle HG=2GO}
垂心将高线分成的两段的乘积相等：如右图中，
A
1
H
×
H
H
1
=
A
2
H
×
H
H
2
=
A
3
H
×
H
H
3
{\displaystyle A_{1}H\times HH1=A_{2}H\times HH_{2}=A_{3}H\times HH_{3}}
三角形的垂心到一边的距离，等于这边上的高线的延长线从垂足到外接圆 的长度。
外心
O
{\displaystyle O}
H
{\displaystyle H}
等角共轭点 。
三角形的三个垂足都在九点圆 的圆周上。每个顶点和垂心所连成的线段的中点也在九点圆上。实际上，九点圆的九个点就是三边的中点和以上的六个点。九点圆的圆心也在欧拉线上，并且在垂心到外心的线段的中点。此外九点圆平分垂心与外接圆上的任一点的连线。
一个三角形
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
H
{\displaystyle H}
垂心组 ：
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
H
{\displaystyle H}
三角形
a
b
c
{\displaystyle abc}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
H
{\displaystyle H}
过平面上一点
P
{\displaystyle P}
P
{\displaystyle P}
垂足三角形 。垂心
H
{\displaystyle H}
H
1
H
2
H
3
{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
H
{\displaystyle H}
H
1
H
2
H
3
{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
A
1
A
2
A
3
{\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}
H
1
H
2
H
3
{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
旁心 [ 1]
锐角三角形
A
1
A
2
A
3
{\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}
H
{\displaystyle H}
H
1
H
2
H
3
{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
H
1
{\displaystyle H_{1}}
H
2
{\displaystyle H_{2}}
H
3
{\displaystyle H_{3}}
H
1
H
2
H
3
{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
H
1
H
2
H
3
{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
[ 2]
H
1
H
2
H
3
{\displaystyle H_{1}H_{2}H_{3}}
垂心H 的垂足三角形的各个边分别平行于三角形的外接圆在各个顶点处的切线 。
在三角形
A
1
A
2
A
3
{\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}
A
1
H
2
H
3
{\displaystyle A_{1}H_{2}H_{3}}
H
1
A
2
H
3
{\displaystyle H_{1}A_{2}H_{3}}
H
1
H
2
A
3
{\displaystyle H_{1}H_{2}A_{3}}
A
1
A
2
A
3
{\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}
H
{\displaystyle H}
过三角形某一顶点的高线的长度称为过这点的高或这一点上的高。三角形
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
h
a
{\displaystyle h_{a}}
h
b
{\displaystyle h_{b}}
h
c
{\displaystyle h_{c}}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
B
C
{\displaystyle BC}
C
A
{\displaystyle CA}
A
B
{\displaystyle AB}
h
a
=
2
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
a
.
{\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}
h
b
=
2
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
b
.
{\displaystyle h_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}.}
h
c
=
2
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
c
.
{\displaystyle h_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}.}
其中s是三角形的半周长：
2
s
=
a
+
b
+
c
{\displaystyle 2s=a+b+c}
海伦公式 ：
S
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
以及三角形的面积公式：
S
=
a
h
a
2
{\displaystyle S={\frac {ah_{a}}{2}}}
三角形内切圆 的半径
r
{\displaystyle r}
h
a
{\displaystyle h_{a}}
h
b
{\displaystyle h_{b}}
h
c
{\displaystyle h_{c}}
1
r
=
1
h
a
+
1
h
b
+
1
h
c
.
{\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}
而三角形的三个旁切圆 的半径也和高有类似的关系：
1
r
a
=
−
1
h
a
+
1
h
b
+
1
h
c
.
{\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r_{a}}}=-{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}
1
r
b
=
1
h
a
−
1
h
b
+
1
h
c
.
{\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r_{b}}}={\frac {1}{h_{a}}}-{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}
1
r
c
=
1
h
a
+
1
h
b
−
1
h
c
.
{\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r_{c}}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}.}
其中的
r
a
{\displaystyle r_{a}}
r
b
{\displaystyle r_{b}}
r
c
{\displaystyle r_{c}}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
J
a
{\displaystyle J_{a}}
J
b
{\displaystyle J_{b}}
J
c
{\displaystyle J_{c}}
如果设
h
s
=
h
a
−
1
+
h
b
−
1
+
h
c
−
1
2
{\displaystyle h_{s}={\frac {h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}{2}}}
[ 3]
A
−
1
=
4
h
s
(
h
s
−
h
a
−
1
)
(
h
s
−
h
b
−
1
)
(
h
s
−
h
c
−
1
)
.
{\displaystyle A^{-1}=4{\sqrt {h_{s}(h_{s}-h_{a}^{-1})(h_{s}-h_{b}^{-1})(h_{s}-h_{c}^{-1})}}.}
令
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
h
a
,
h
b
,
h
c
{\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}}
R
=
a
b
c
2
h
c
8
(
S
a
b
c
)
2
{\displaystyle R={\frac {abc^{2}h_{c}}{8(S_{abc})^{2}}}}
S
=
(
c
h
c
)
2
4
(
S
a
b
c
)
2
{\displaystyle S={\frac {(ch_{c})^{2}}{4(S_{abc})^{2}}}}
令
a
0
:
b
0
:
c
0
=
h
a
−
1
:
h
b
−
1
:
h
c
−
1
{\displaystyle a_{0}:b_{0}:c_{0}=h_{a}^{-1}:h_{b}^{-1}:h_{c}^{-1}}
a
0
,
b
0
,
c
0
{\displaystyle a_{0},b_{0},c_{0}}
我們可知當
s
=
a
0
+
b
0
+
c
0
2
{\displaystyle s={\frac {a_{0}+b_{0}+c_{0}}{2}}}
S
a
0
b
0
c
0
=
s
(
s
−
a
0
)
(
s
−
b
0
)
(
s
−
c
0
)
{\displaystyle S_{a_{0}b_{0}c_{0}}={\sqrt {s(s-a_{0})(s-b_{0})(s-c_{0})}}}
由上可得
h
c
0
=
2
S
a
0
b
0
c
0
c
0
{\displaystyle h_{c_{0}}={\frac {2S_{a_{0}b_{0}c_{0}}}{c_{0}}}}
r
=
h
c
h
c
0
=
c
0
h
c
2
S
a
0
b
0
c
0
{\displaystyle r={\frac {h_{c}}{h_{c_{0}}}}={\frac {c_{0}h_{c}}{2S_{a_{0}b_{0}c_{0}}}}}
故原三角形ABC中
a
=
a
0
r
{\displaystyle a=a_{0}r}
b
=
b
0
r
{\displaystyle b=b_{0}r}
c
=
c
0
r
{\displaystyle c=c_{0}r}
所以外切圓半徑
R
=
a
b
2
h
c
=
r
2
a
0
b
0
2
h
c
=
(
c
0
h
c
2
S
a
0
b
0
c
0
)
2
a
0
b
0
2
h
c
=
a
b
c
2
h
c
8
(
S
a
b
c
)
2
{\displaystyle R={\frac {ab}{2h_{c}}}={\frac {r^{2}a_{0}b_{0}}{2h_{c}}}={\frac {({\frac {c_{0}h_{c}}{2S_{a_{0}b_{0}c_{0}}}})^{2}a_{0}b_{0}}{2h_{c}}}={\frac {abc^{2}h_{c}}{8(S_{abc})^{2}}}}
而面積S則為
S
=
S
a
0
b
0
c
0
r
2
=
S
a
0
b
0
c
0
(
c
0
h
c
2
S
a
0
b
0
c
0
)
2
=
(
c
h
c
)
2
4
(
S
a
b
c
)
2
{\displaystyle S=S_{a_{0}b_{0}c_{0}}r^{2}=S_{a_{0}b_{0}c_{0}}({\frac {c_{0}h_{c}}{2S_{a_{0}b_{0}c_{0}}}})^{2}={\frac {(ch_{c})^{2}}{4(S_{abc})^{2}}}}
^ William H. Barker, Roger Howe. § VI.2: The classical coincidences. Continuous symmetry: from Euclid to Klein . American Mathematical Society Bookstore. 2007: 292. ISBN 0-8218-3900-4. ^ Bryant, V., and Bradley, H., "Triangular Light Routes," Mathematical Gazette 82, July 1998, 298-299.
^ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
R.A.约翰逊，单墫 译. 《近代欧氏几何学》. 上海教育出版社. ISBN 7-5320-6392-5.
X(1)-X(10) X(11)-X(20) X(21)-
