2i進制

2i进制，是由高德纳于1955年提出来的，当时用作高中科学精英研究用。它是一种以2i为基数的非标准进位制。这种进制以0、1、2、3为基本數碼^[1]，能够独一无二的表示全体复数。

将2i进制转换为十进制可以用标准公式。这个公式是：

${\displaystyle b}$进制数${\displaystyle \ldots d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}}$ 的十进制数为

${\displaystyle \cdots +d_{3}\cdot b^{3}+d_{2}\cdot b^{2}+d_{1}\cdot b+d_{0}}$

2i进制中，${\displaystyle b=2i}$。

将 ${\displaystyle 1101_{2i}}$ 转换为十进制，可按照上述公式填入相应数字：

${\displaystyle 1\cdot (2i)^{3}+1\cdot (2i)^{2}+0\cdot (2i)^{1}+1\cdot (2i)^{0}=-8i-4+0+1=-3-8i}$

再比如： ${\displaystyle 1030003_{2i}}$ 十进制是

${\displaystyle 1\cdot (2i)^{6}+3\cdot (2i)^{4}+3\cdot (2i)^{0}=-64+3\cdot 16+3=-13}$

也能将十进制数转换为2i进制。 每个复数（形如a+bi） 都有个2i进制形式。 大多十进制数都只有1个形式，但像1这样的数在十进制中有两种形式1.0 = 0.9， 相对应的 ¹/₅有两种2i进制形式：1.0300_2i = 0.0003_2i。

要转换十进制数，先将实部和虚部分别转换为2i进制数，然后加到一起即可。 比如， –1+4i 等于–1 加上 4i，–1的2i进制数是103， 4i的2i进制数是20，因此 –1+4i = 123_2i。

转换虚部时，可以先乘以2i，得到一个实数；然后将这个实数转换为2i进制，然后右移一位即可（等效于除以 2i）。 例如，虚部是 6i，先将6i 乘以2i 得到 –12，化为2i进制是300_2i，然后右移一位，得到： 6i = 30_2i。

转换实数，可以用方程组来求解。

我们来求解7的2i进制数。我们很难知道这个2i进制数有多长，所以我们先假设一个比较长的数。 我们先选六位试试，如果不够，我们再延长。 我们写出公式，然后分组：

${\displaystyle {\begin{aligned}7_{10}&=d_{0}+d_{1}\cdot b+d_{2}\cdot b^{2}+d_{3}\cdot b^{3}+d_{4}\cdot b^{4}+d_{5}\cdot b^{5}\\&=d_{0}+2id_{1}-4d_{2}-8id_{3}+16d_{4}+32id_{5}\\&=d_{0}-4d_{2}+16d_{4}+i(2d_{1}-8d_{3}+32d_{5})\\\end{aligned}}}$

7是实数，因此d₁、d₃ 和 d₅ 是0。 剩下就是系数d₀、d₂ 和 d₄。 因为 d₀ − 4 d₂ + 16 d₄ = 7 并且他们只能是 0、 1、 2 或 3 。可能的结果是： d₀ = 3, d₂ = 3 ， d₄ = 1。 这样就找到了7₁₀的2i进制数。

${\displaystyle {\begin{aligned}7_{10}=010303_{2i}=10303_{2i}.\end{aligned}}}$

找一个纯虚数的2i进制数，可以模拟实数的方法。 例如6i, 也可以用公式。实部全为零，虚部化为6。 6i 很容易看出 d₁ = 3 其他各位都是0。6i就是：

${\displaystyle {\begin{aligned}6i_{10}=30_{2i}\end{aligned}}}$

對實數而言，2i进制表示法實際上與負四进制相同。要將複數x+iy轉換成2i进制可以透過將x和y/2分別轉換為負四进制再將之交錯合併來完成轉換成2i进制的工作。如果x和y都是有限的二进制小數，則可以使用連續的带余除法來將十进制數轉換成2i进制：

例如：35+23i=121003.2_2i

                35                                 23i/2i=11.5    11=12−0.5
            35÷(−4)=−8, 餘 3                12/(−4)=−3, 餘 0               (−0.5)×(−4)=2
            −8÷(−4)= 2, 餘 0                −3/(−4)= 1, 餘 1
             2÷(−4)= 0, 餘 2                 1/(−4)= 0, 餘 1
               20003                    +     101000                         +  0.2 = 121003.2
                         32i+16×2−8i−4×0+2i×0+1×3−2×i/2=35+23i

十进制中小数点用来区分整数部分和小数部分。2i进制中小数点一样可以用，比如${\displaystyle ...d_{5}d_{4}d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}d_{-3}...}$ 中，小数点用来分割b的正数幂和負数幂。带小数点时，公式是：

${\displaystyle d_{5}b^{5}+d_{4}b^{4}+d_{3}b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}+d_{-1}b^{-1}+d_{-2}b^{-2}+d_{-3}b^{-3}}$

或

${\displaystyle 32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{\frac {1}{2i}}d_{-1}+{\frac {1}{-4}}d_{-2}+{\frac {1}{-8i}}d_{-3}}$

${\displaystyle =32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}-{\frac {i}{2}}d_{-1}-{\frac {1}{4}}d_{-2}+{\frac {i}{8}}d_{-3}}$

將i轉換為2i進制，没有小数点的话，可能没办法做到。因此：

${\displaystyle {\begin{aligned}i&=32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{\frac {1}{2i}}d_{-1}+{\frac {1}{-4}}d_{-2}+{\frac {1}{-8i}}d_{-3}\\&=i(32d_{5}-8d_{3}+2d_{1}-{\frac {1}{2}}d_{-1}+{\frac {1}{8}}d_{-3})+16d_{4}-4d_{2}+d_{0}-{\frac {1}{4}}d_{-2}\\\end{aligned}}}$

因為实部为0，故 d₄ = d₂ = d₀ = d_-2 = 0。
接著考慮虚部部分，当 d₅ = d₃ = d _-3 = 0 并且 当 d₁=1 ， d_-1=2 时结果正确。所以

${\displaystyle {\begin{aligned}i=10.2_{2i}\end{aligned}}}$.

將${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$轉換為2i進制，其結果為-0.0203。

2i进制也可以做加减法。 首先要记住以下规则：

1. 数字超过3时, 减 4 "进" −1 到左边第二位。
2. 数字小于0时, 加 4"进" +1 到左边第二位。

简单的说： 「加四进一、减四借一」（當作四進制來計算）。 和一般竖式加法不同的是，要借/进到左边第二位。

   1 - 2i                1031             3 - 4i                 1023
   1 - 2i                1031             1 - 8i                 1001
   ------- +     <=>     ----- +          ------- +      <=>     ----- +
   2 - 4i                1022             4 - 12i               12320

第一个例子，先是1+1=2。然后是3+3=6，6比3大，我们得减4借1。接着是0+0=0。然后是1+1=2，在减去借的1。得1。

第二个例子，先是3+1=4; 4 比3大，我们得减4借1。然后是2+0=2。 接着是0+0=0，再减去借位1，得-1，小于0，我们得加四进一。 然后是1+1=2; 最后是进位1。我们得到结果${\displaystyle 12320_{2i}}$。

减法和加法类似。下面是例子：

         - 2 - 8i                       1102
           1 - 6i                       1011  
           ------- -         <=>        ----- -
         - 3 - 2i                       1131

这个例子中，先是2-1 = 1。 然后是0-1=-1，小于0，加4进1得3；接着是1-0=1。然后是1-1=0，加上进位得1。 结果就是 ${\displaystyle 1131_{2i}}$。

乘法也要用到上面两点。先逐位相乘，然后叠加。比如：

             11201
             20121  x
             --------
             11201      <--- 1 x 11201
            12002       <--- 2 x 11201
           11201        <--- 1 x 11201
          00000         <--- 0 x 11201
         12002      +   <--- 2 x 11201
         ------------
         120231321

也就是 ${\displaystyle (9-8i)\cdot (29+4i)=293-196i}$。

下面是一个常用的复数对照表。我们可以用叠加的方法来转换复数

${\displaystyle 5=16+(3\cdot -4)+1=10301_{2i}}$

${\displaystyle i=2i+2\left(-{\frac {1}{2}}i\right)=10.2_{2i}}$

${\displaystyle 7{\frac {3}{4}}-7{\frac {1}{2}}i=1(16)+1(-8i)+2(-4)+1(2i)+3\left(-{\frac {1}{2}}i\right)+1\left(-{\frac {1}{4}}\right)=11210.31_{2i}}$

• 四進制
• 十六進制
• 複進制
• 负进制

• D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Edition. Addison-Wesley. pp. 205, "Positional Number Systems"